Vektor \( \vec{a}, \vec{b} \), dan \( \vec{c} \) adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut \( 60^\circ \) dengan vektor lainnya. Maka \( (\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c}) \) adalah… (SIMAK UI 2010)
- \( -\frac{1}{4} \)
- \( -\frac{1}{2} \)
- \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \frac{1}{4} \)
- \( \frac{1}{2} \)
Pembahasan:
Karena \( \vec{a}, \vec{b} \), dan \( \vec{c} \) adalah vektor-vektor unit yang berarti panjangnya adalah 1, maka kita peroleh berikut:
\begin{aligned} (\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c}) &= \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} \\[8pt] &= |\vec{a}||\vec{b}| \cos 60^\circ - |\vec{a}||\vec{c}| \cos 60^\circ - |\vec{b}| + |\vec{b}||\vec{c}| \cos 60^\circ \\[8pt] &= \left( 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \right) - \left( 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \right) -1+ \left( 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \right) \\[8pt] &= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2} \\[8pt] &= -\frac{1}{2} \end{aligned}
Jawaban B.